![][1]


_Перевод поста Джона Макги (John McGee) "[Mersenne Primes and the Lucas–Lehmer Test][2]".
Код, приведенный в статье, можно скачать [здесь][3].
Выражаю огромную благодарность [Полине Сологуб][4] за помощь в переводе и подготовке публикации_
----


## Содержание


— [Введение.][5]
— [Теорема множителей Эйлера и Мерсенна][6]
— [Люка и Лемер][7]
— [От ![${M_{13}}$][8] до ![${M_{20}}$][9]][10]
— [Совершенные числа][11]
— [21-е, 22-е и 23-е числа Мерсенна][12]
— [24-е, 25-е и 26-е числа Мерсенна.][13]
— [27-е и 28-е числа Мерсенна][14]
— [29-е число Мерсенна][15]
— [30-е и 31-е числа Мерсенна][16]
— [Великий интернет-поиск чисел Мерсенна][17]
— [Факторизация чисел Мерсенна][18]
----
<>

## Введение.


[Простое число Мерсенна][19] — простое число вида ![${M_p} = {2^p} - 1$][20] (значение степени _р_ также должно быть простым). Эти простые числа получили свое название от имени французского математика и религиозного ученого [Мерсенна][21], который и составил данный список простых чисел этой формы в первой половине семнадцатого века. Первые четыре из них были известны уже давно: ![${M_2} = 3$][22], ![${M_3} = 7$][23], ![${M_5} = 31$][24] и ![${M_7} = 127$][25].

Мерсенн утверждал, что значение ![${2^p} - 1$][26] будет простым для простых чисел ![$p \leqslant 257$][27], принадлежащих множеству ![$p \in \left\{ {{\text{2}}{\text{,3}}{\text{,5}}{\text{,7}}{\text{,13}}{\text{,17}}{\text{,19}}{\text{,31}}{\text{,67}}{\text{,127}}{\text{,257}}} \right\}$][28]. Во всем ли он был прав, можно проверить с помощью функции [Wolfram Language][29] — [**PrimeQ**][30], в которой используются современные методы тестирования чисел на простоту, для которых не требуется поиска конкретного множителя, чтобы доказать, что число составное.
[Читать дальше →][31]

[1]: https://habrastorage.org/files/10c/b6c/015/10cb6c0150d14791994e2894be597805.png
[2]: http://blog.wolfram.com/2016/09/30/mersenne-primes-and-the-lucas-lehmer-test/
[3]: http://blog.wolfram.com/data/uploads/2016/09/Mersenne-Primes-and-the-Lucas-Lehmer-Test.cdf
[4]: https://vk.com/id65091763
[5]: https://habrahabr.ru/company/wolfram/blog/327342/#1
[6]: https://habrahabr.ru/company/wolfram/blog/327342/#2
[7]: https://habrahabr.ru/company/wolfram/blog/327342/#3
[8]: https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/ac4/970/164/ac49701646a28e6da10d0b642366394f.svg
[9]: https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/956/b01/4ad/956b014ad1acd89a43f789a2140ce505.svg
[10]: https://habrahabr.ru/company/wolfram/blog/327342/#4
[11]: https://habrahabr.ru/company/wolfram/blog/327342/#5
[12]: https://habrahabr.ru/company/wolfram/blog/327342/#6
[13]: https://habrahabr.ru/company/wolfram/blog/327342/#7
[14]: https://habrahabr.ru/company/wolfram/blog/327342/#8
[15]: https://habrahabr.ru/company/wolfram/blog/327342/#9
[16]: https://habrahabr.ru/company/wolfram/blog/327342/#10
[17]: https://habrahabr.ru/company/wolfram/blog/327342/#11
[18]: https://habrahabr.ru/company/wolfram/blog/327342/#12
[19]: http://www.wolframalpha.com/input/?i=Mersenne+prime+definition
[20]: https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/24e/085/f17/24e085f17f198bde86bc719cfe21f8b4.svg
[21]: http://www.wolframalpha.com/input/?i=mersenne+biography
[22]: https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/317/6ff/f1e/3176fff1ee728227c396ee977a80ec44.svg
[23]: https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/3ac/8ff/ffc/3ac8ffffcfc719fce51768c59a5992c3.svg
[24]: https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/75f/8c9/cb3/75f8c9cb37d53064b00990d2942d2ac9.svg
[25]: https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/dbf/7da/cfd/dbf7dacfde5322bb2dc4f08c767e1de6.svg
[26]: https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/f84/17e/201/f8417e201d444502f8422d33405549ab.svg
[27]: https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/185/dc0/5c0/185dc05c0858188f872ee4f7903d2c4f.svg
[28]: https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/93b/3d9/8fe/93b3d98fe93131804dddec6e4119089d.svg
[29]: https://www.wolfram.com/language/
[30]: http://reference.wolfram.com/language/ref/PrimeQ.html
[31]: https://habrahabr.ru/post/327342/?utm_source=habrahabr&utm_medium=rss&utm_campaign=feed_posts#habracut