Теорема: Все натуральные числа равны между собой.

Доказательство: Необходимо доказать, что для любых двух натуральных чисел A и B выполнено равенство A=B. Переформулируем это в таком виде: для любого N>0 и любых A и B, удовлетворяющих равенству max(A,B)=N, должно выполняться и равенство A=B.

Докажем это по индукции. Если N=1, то A и B, будучи натуральными, оба равны 1. Поэтому A=B.

Предположим, что утверждение доказано для некоторого значения k. Возьмем A и B такими, чтобы max(A,B)=k+1. Тогда max(A1,B1)=k. По предположению индукции отсюда следует, что (A1)=(B1). Значит, A=B.